泰勒公式推导

假设函数f(x)在某个实数a的邻域内n阶可导，构造多项式g(x)如下：

$$g(x) = f(a) + f^{'}(a)(x-a) + \frac { f^{"}(a)(x-a)^2}{2!} + ... + \frac { f^{(n-1)}(a)(x-a)^{n-1}} { (n-1)! }$$

对两个函数求差，获得的值称作余项：

$$R_{n} = f(x) - g(x) = f(x) - ( f(a) + f^{'}(a)(x-a) + \frac { f^{"}(a)(x-a)^2}{2!} + ... + \frac { f^{(n-1)}(a)(x-a)^{n-1}} { (n-1)! } )$$

取变量$t \in (a, x)$，构造函数：

$$F(t) = f(x) - ( f(t) + f^{'}(t)(x-t) + \frac { f^{"}(t)(x-t)^2}{2!} + ... + \frac { f^{(n-1)}(t)(x-t)^{n-1}} { (n-1)! } )$$ $$F(x) = 0$$ $$F(a) = R_{n}$$ $$F^{'}(t) = -( f^{'}(t) + ( f^{"}(t)(x-t) - f^{'}(t) ) + ( \frac { f^{(3)}(t)(x-t)^2}{2!} - f^{"}(t)(x-t) ) + ...$$ $$+ ( \frac {f^{(n)}(t)(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} - \frac {f^{(n-1)}(t)(x-t)^{n-2}}{(n-2)!} ) )$$ $$= - \frac {f^{(n)}(t)(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}$$

构造函数G(t)为：

$$G(t) = (x-t)^{n}$$

由微分中值定理可以得到，存在$\xi \in (a,x)$，使得：

$$\frac {F(x) - F(a)}{G(x) - G(a)} = \frac {F^{'}(\xi)}{ G^{'}(\xi)}$$ $$\frac {R_{n}}{(x-a)^{n}} = \frac {- \frac {f^{(n)}(\xi)(x- \xi)^{n-1}}{(n-1)!}} {-n(x - \xi)^{n-1}}$$

成立，因此：

$$R_{n} = \frac {f^{(n)}(\xi)(x-a)^{n}}{(n)!}$$

于是，就可以得出($\xi \in (a,x)$)：

$$f(x) = f(a) + f^{'}(a)(x-a) + \frac { f^{"}(a)(x-a)^2}{2!} + ... + \frac { f^{(n-1)}(a)(x-a)^{n-1}} { (n-1)! } + R_{n}$$ $$= f(a) + f^{'}(a)(x-a) + \frac { f^{"}(a)(x-a)^2}{2!} + ... + \frac { f^{(n-1)}(a)(x-a)^{n-1}} { (n-1)! } + \frac {f^{(n)}(\xi)(x-a)^{n}}{(n)!}$$